Зависимость между напряжениями и внутренними силовыми факторами. Что понимается под внутренними силовыми факторами и как они определяются? Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Рабочие гипотезы СОПРОМАТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТУПЕНЧАТЫХ БРУСЬЯХ С НЕСКОЛЬКИМИ СИЛОВЫМИ УЧАСТКАМИ.

ОТВЕТ: Растяжением или сжатием бруса называют такой его вид деформации, при котором все внешние силы направлены по продольной оси, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – продольная сила N. Ее величину определяют, используя метод сечений: , т.е. продольная сила в рассматриваемом сечении бруса численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Условились считать N>0, если она направлена в сторону от сечения, т.е. растягивает и N<0, если сжимает. Для полного суждения о прочности бруса необходимо построить график изменения продольной силы по длине бруса – эпюру продольной силы (Эп.N).

Напряжения и деформации при осевом растяжении-сжатии

В процессе деформирования в поперечных сечениях бруса при осевом растяжении-сжатии возникают только нормальные напряжения σ, причем они распределяются равномерно по поперечному сечению.

При растяжении-сжатии брус испытывает только линейные деформации.

– абсолютная продольная деформация груза (удлинение)

Относительная продольная деформация

- абсолютная поперечная деформация (сужение)

Относительная поперечная деформация

Связь между и : - коэффициент Пуассона.

Линейная закономерность, связывающая напряжения и деформации – закон Гука при осевом растяжении-сжатии.

Определение геом. характеристик.

Рассмотрим определение геом. характеристик , для наиболее часто встречаемых поперечных сечений валов.

1.Сплошной вал

2.Полый вал

3.Тонкостенное трубчатое сечение

К тонкостенным отн-ся трубу с соотношением

Определение перемещений при изгибе. Условие жесткости. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Варианты расчета простых статически неопределимых балок

Существует несколько способов расчета простых балок:

1.Сравнение линейных перемещений.

ΔВ=ΔВq+ΔBRB=0(1) доп. уравнение деформаций

Слагаемые в(1) могут быть найдены исп-я готовые таблицы или универсальные уравнения. Применительно к рас-му предмету:

ΔBq=-qe 4 /8EIx; ΔBRB=RBe 3 /3EIx;

ΔB=-qe 4 /8EIx +RBe 3 /3EIx =0 =>RB=3qe/8

2. Сравнение угловых перемещений.

Можно отбросить связь, препятствующая повороту опорного сечения А и записать

ΔA=ΔAq+ΔAMA=0(2)

Также ур-е деформации слагаемое означает углы поворота.

3.Составление замкнутой системы ур-я.

3 ур-я статики+ унивес. ур-е

43. Метод сил для расчета сложных СНС.

Метод при котором за неизвестное принимаются сосредоточенные моменты наз-ся методом сил. Он явл-ся наиболее распространенным и ис-ся для любых упругих систем (балки, рамы,эстакады итд.).

Например:

К трем ур-ям статики для решения данной СНС добавится 3 уравнения, выражающие рав-во 0 перемещений по направлениям всех отброшенных связей т.е. опорное сечение и не перемещаются им в горизонтальном или в вертикальном перемещениях и не переворачиваются.

X1 Δ1=0

X2 Δ2=0 (1)

X3 Δ3=0

Каждое уравнение системы(1) можно записать в развернутом виде:

Δ1=Δ11+Δ12+Δ13+Δ1f=0 (2)

Первый символ указывает направление; 2-й воз-е.

Δ1f-перемещение опорного сечения А в направлении действия X, вызванное внешней нагрузкой

(2) можно выразить через единичные перемещения и искомое неизвестное (это первые три слагаемых)

Δ11=δ11-x1 и тогда система примет закончен. вид.

δ11 x1+ δ12 x2+ δ13 x3+ Δ1f=0

δ21 x1+ δ22 x2+ δ23 x3+ Δ2f=0 (3)-система кумс.

δ31 x1+ δ32 x2+ δ33 x3+ Δ3f=0

Канонические ур-я метода сил-КУМС.

Число ур-й равно степени статической неопределимости.

Рабочие гипотезы СОПРОМАТА

ОТВЕТ: В отличие от термеха, базирующегося на модели абс. твердого тела, в сопромате принята своя расчетная модель-модель идеализированного деформируемого тела. А для упрощения расчетов принимаются следующие допущения или гипотезы: 1) Материал тела имеет сплошное строение. 2) материал однороден, т.е. во всех точках свойства одинаковы. 3) материал изотропен, т.е. по всем направлениям свойства одинаковы. 4) до приложения внешних сил начальные напряжения в материале отсутствуют. 5) при решении реальных задач целесообразно использовать принцип суперпозиции, или принцип независимости действия сил, т.е. воздействие на конструкцию группы сил равно сумме воздействий от каждой силы в отдельности и не зависит от последовательности приложения этих сил.

ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ И МЕТОД ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

ОТВЕТ: Под действием внешних сил на брус возникают внутренние силы или внутренние силовые факторы, для определения которых в сопромате принят единый расчетный метод – метод сечений. 1) разрезаем мысленно брус в исследуемом сечении на 2 части I и II. 2) Отбрасываем одну из частей. 3) Заменяем действие отбрасываемой части II на часть I внутренними силовыми факторами(в общем случае их 6). Q x Q y – поперечные силы, N z – продольная сила, M x M y – изгибающие моменты, M z – крутящий момент. 4) Уравновешиваем оставшуюся часть бруса и с помощью уравнений равновесия термеха находим искомые силовые факторы.

ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ, ДЕФОРМАЦИЯХ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ.

ОТВЕТ: Мерой интенсивности действия внутренних сил в окрестности точки рассматриваемого поперечного сечения являются напряжения, определяемые отношением силы к единице площади [Па]. Если в поп. сечении выделить элемент DА, к которому будет приложена сила DР, то DР/DА=р m – среднее полное напряжение в рассматриваемой точке поперечного сечения. - полное истинное напряжение. Вектор раскладывают на и . - нормальное напряжение – вызывает разрушения путем отрыва. - касательное напряжение – вызывает разрушение путем сдвига. Перемещения и деформации – понятия, характеризующие изменение размеров и формы исследуемого тела. При этом перемещения являются следствием деформации.

1. Основные понятия в сопромате.

Задачи и методы сопромата.

Все элементы конструкции обладают прочностью и жесткостью.

Задачи сопромата: создание методов оценки прочности.

Сопромат характеризуется приближенными приемами расчета.

Расчетные схемы и модели.

Оценка прочности проводится по схеме (модели).

Модель – совокупность основных представлений от основного описания объекта.

Для одной и той же детали можно составить несколько подобных схем. В то же время для одной расчетной схемы можно найти различные детали схем материала, форм, нагружения и разгружения сил.

Модели надежности.

Модели материала.

Материал бывает однородным, сплошным, непрерывным (можно применить математические формулы), изотропным.

Однородность материала – материал, по всему объему одинаков.

Расчетная модель материала обладает свойствами упругости, пластичности и ползучести.

Упругость – свойство материала восстанавливать форму.

Пластичность – свойство тела сохранять измененную форму.

Ползучесть – свойство тела изменять форму с течением времени (смола).

Модели формы.

Геометрическая форма тел очень сложна. Учесть в формулах все формы не возможно, поэтому их приводят к 4 схемам:

1.Стержень, брус.

2.Пластина.

3.Оболочка.

Разновидности формы.

Стержень – форма детали, у которой один размер на порядок больше, чем два других.

Пластина – форма детали, у которой один размер меньше на порядок, чем два других.

Массив – все размеры разные, но отличаются меньше, чем на порядок.

Модели нагружения.

Сила – мера взаимодействия двух тел.

Сила бывает внешняя и внутренняя. Внешняя в сою очередь бывает сосредоточенной, распределенной и объемной.

Сосредоточенная – сила, приложенная на малой площади, которую можно считать точкой.

Распределенная – сила, действующая на значительной поверхности, размер которой нужно учитывать.

Объемная – сила, распределенная по всей массе тела.

Модели времени действия сил.

Различают

1. Статические

2. Переменные

a) Малоцикловые

b) Многоцикловые (больше 100 тыс. изменений)

Модели разрушения.

Разрушение детали – изменение ее формы в плоть до разделения на части.

Изменение формы и разделение на части произойдет тогда, когда внутренние силы превысят силы сцепления отдельных частей материала.

Для суждения о прочности сравнивают внутренние силы с пределами прочности. Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия возникающие при действии внешних сил.

Рассмотрим тело (а), находящееся в равновесии под действием внешних сил мысленно рассечем это тело на 2 части плоскостью П и рассмотрим 1-у из них (б). Действие одной из них на другую следует заменить системой внутренних сил в сечении. Внутренние силы в сечениях частей тела всегда взаимны (действие равно противодействию). В сопромате изучаются тела находящиеся в равновесии.

Для нахождения равнодействующей (R) и момента (M) воспользуемся уравнениями равновесия.

Проектируем R и М на выбранные оси координат.


Отсеченная часть находится в равновесии

Возьмем систему координат xyz и разложим и на составляющие части.

Тогда проекции и М на эти оси называются внутренними силовыми факторами.

Продольная сила, - поперечные силы.

Крутящий момент, - изгибающие моменты.

Для вычисления внутренних сил. Факторов необходимо решить 6 уравнений равновесия.

Напряжение и деформация.

Напряжение – интенсивность внутренних сил. факторов.

– полное напряжение в точке.

Напряжение в точке

Касательные и нормальные напряжения.

Силу ΔR разложим на составляющие ΔN – нормальная и ΔQ – касательная силы.

σ – нормальное и τ – касательное напряжения.

Напряжение имеет наименование силы деленной на площадь (Н/).

В системе СИ выражается в Паскалях (Па).

Связь напряжения с внутренними силовыми факторами.

N-продольная сила, вызывающая напряжение стержня

Поперечные силы, вызывающие сдвиг.

Крутящий момент – скручивание

Изгибающие моменты – искривление продольной оси.

Если на тело действует сила, значит, оно деформируется. В сопромате все тела деформируются, но они крайне малы.

Центральное растяжение – сжатие.

Продольная сила.

Растяжение – вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает внутренняя продольная сила N, при этом длина увеличивается, а ширина уменьшается.

В условиях растяжения будет находиться стержень под действием осевых сил на краях (а). Равнодействующая системы равна F.

Для определения продольной внутренней силы N используют метод сечений.

Для определения N в произвольном сечении x стержня а) рассмотрим равновесие верхней отсеченной части б). Составляем уравнение равновесия, подставляя значения получим

Знак «+» показывает, что стержень растянут.

Эпюра продольных сил.

Для суждения о прочности стержня нужно знать продольную силу в любой точке.

График (эпюру) изменения внутренних сил стоит на линии проведенной параллельно оси стержня. Каждая ордината эпюры равна N.

Участок – некоторая длина стержня, на котором отсутствует изменение площади или сил.

Пусть стержень ОАВ нагружен силами и имеет 2 участка ОА и АВ, на них выбраны сечения на расстоянии и от начала координат. В сечении продольная сила

в сечении

Напряжения.

Сила N, приложенная в центре тяжести произвольного сечения стержня является равнодействующей внутренних сил, действующих на бесконечно малой площади dA поперечного сечения площади А и. Тогда,

В пределах действия закона Гука () плоские поперечные сечения стержня при деформации смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими (гипотеза плоских сечений), тогда норм. напряжение во всех точках сечения одинаково, т.е. (гипотеза Бернулли) и тогда

При сжатии стержня напряжение имеют лишь другой (отрицательный) знак (нормальная сила направлена в тело стержня).

Деформация.

Стержень постоянного сечения площадью А под действием осевых растягивающих сил удлиняется на величину, где - длины стержня в деформированном и не деформированном состоянии. Это приращение длины называется полным или абсолютным удлинением .

Относительное удлинение – удлинение отнесенное к первоначальной длине стержня назыв. линейной деформацией. Измеряется ε в %.

При растяжении (сжатии) возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня, где а – поперечный размер.

Отношение поперечной деформации к продольной взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона.

Закон Гука. Удлинение стержня.

Между напряжением и малой деформацией существует линейная зависимость, называемая законом Гука. Для растяжения (сжатия) она имеет вид σ=Еε, где Е – коэффициент пропорциональности, модуль упругости .

Е – напряжение, которое вызывает деформацию.

Закон Гука для растяжения (сжатия) стержня.

Δl=Fe/EA=λF, где λ – коэффициент продольной податливости стержня.

ЕА – жесткость сечения стержня при растяжении.

Для стержня переменного (ступенчатого) сечения удлинение определяется по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:

Диаграмм испытания материала.

В расчетах прочности стержня при растяжении и сжатии необходимо знать механич. Свойства материала, которые выявляются при испытаниях образцов на растяжение под нагрузкой. Испытание на растяжение позволяет судить о поведении материала и при сжатии, сдвиге, кручении и изгибе. График зависимости между растягивающей силой F и удлинением образца Δl называют диаграммой растяжения .

Для исключения зависимости от размеров диаграмму перестаивают в координатах σ – ε.

Характеристики прочности и текучести.

Т.А – участок пропорциональности (закон сохранения Гука).

До т. С – текучесть материала.

Т. В – max значение.

ОА – упругости,

АД – пластичности,

ДВ – упрочения,

ВМ – местной текучести.

В зоне ОА справедлив закон Гука

Величина предела упругости близка к пределу пропорциональности.

Зона АД – зона общей пластичности. Для нее характерно существенное увеличение деформации (длины) образца без заметного увеличения нагрузки – площадка текучести (СД). Образование пластичной деформации вызвано сдвигом в кристаллической решетке.

Для оценки напряженности используют характеристику механ. свойств материала – предел текучести - напряжение, при котором в материале появляется заметное удлинение без увеличения напряжения.

Предел прочности.

Зона ДВ – зона упрочения; здесь удлинение образца возрастает более интенсивно с увеличением нагрузки по сравнению с зоной ОА. В т. В напряжение σ достигает максимума.

Если нагрузить образец в т. F, то при последующем нагружении материал приобретает способность воспринимать без остаточных деформаций воспринимать большие нагрузки.

Явление повышения упругих свойств материала в результате предварительного деформирования носит название наклепа .

Зону ВМ называют зоной местной текучести. Здесь удлинение образца происходит с уменьшением силы и сопровождается образованием местного сужения – шейки . Напряжение в поперечном сечении шейки возрастает. В т. М наступает разрушение образца. Максимальное напряжение на диаграмме, которое способен выдержать образец, называют пределом прочности (временное сопротивление).

Пластичность и хрупкость.

Под пластичностью понимают способность материала получать большие остаточные деформации без разрушения.

Хрупкость - способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций.

Допускаемые напряжения. Расчетные конструкции.

Условие прочности при растяжении запишется в виде, где [σ] – допускаемое напряжение, являющееся характеристикой конструкционного материала, которая зависит от принятого коэффициента запаса прочности n.

n – величина показывающая, во сколько раз предельное напряжение для данного материала больше рабочих [σ]

Как правило, за предельное напряжение принимают предел текучести (прочности).

Сдвиг и кручение.

Основные вопросы:

1. Понятие сдвига

2. Закон Гука при сдвиге

3. Инженерные расчеты на сдвиг материала бруса

4. Понятие кручения бруса круглого сечения

5. Выражения касательных напряжений углов закручивания

6. Условие прочности и жесткости

7. Определение опасных сечений

8. Инженерные расчеты на кручение.

Внутренние силовые факторы и деформации. Сдвиг – вид деформации, когда в поперечном сечении стержня действует только перерезывающая сила, остальные силовые факторы – отсутствуют.Элементарные кубики искажаются, на боковых гранях возникает напряжение.

Схема сдвига. Закон Гука. Напряженное состояние, при к-м на гранях выделен. элемента возникает только касательные напряжение, называют чистым сдвигом. а-абсолютный сдвиг, -угол, на к-й изменяются прямые углы элемента,называют относительным сдвигом.

Уравнение равновесия отсеченной части, где G – модуль упругости, GA- жесткость при сдвиге -з-н Гука при сдвиге,

Расчет конструкций на сдвиг. Многие детали (склеенные, сваренные,...) подвержены сдвигу.

Условие прочности, - допускаемое напряжение на срез.

=(0,5...0,6) -для пластич. материалов

=(0,7...1,0) - для хрупких материалов

Кручение.

Кручение- вид деформации, при к-м действует только крутящий момент.

Внутренние силовые факторы. Чтобы построить эпюру, разбивают на участки, рассекая сечениями на расстояниях х 1 ,х 2,... Диаграмму, показывающую расраспределение значений крут. моментов по длине вала, называют эпюрой крутящих моментов. Правило знаков: момент, направленный против часовой стрелки- положителен, по стрелке- отриц.

Построение эпюры крутящих моментов. Ур-е равновесия или -правая часть аналогично рассмат все сечения.

Вывод: в любом сечении вала действует крутящий момент, = сумме вращающих моментов, лежащих по одну сторону от этого сечения. Эпюра крутящих моментов - ступенчатая линия, к-я показывает степень нагружаемости каждого из участков вала.

Деформации при кручении. При кручении образующие цилиндра обращаются в винтовые линии, круглые и плоские сечения сохраняют свою форму, поворот одного сечения относительно другого происходит на некоторый угол закручивания, расстояние между поперечными сечениями почти не меняется. Сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания, радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми.

Кручение – результат сдвигов при взаимном повороте сечений.

Схема нагружения бруса.

Где -угол закручивания на единичной длине стержня.

Относит. угол закручивания.

Геометрия сдвига.

Значения касат. напряжений в точках сечения пропорциональны расст. её от оси стержня.

Момент кручения .

Напряжение при кручении.

Геометрич. характеристика- полярный момент инерции сечения.

Угол закручивания на ед. стержня. -полярный момент сопротивления сечения.

Полярный момент инерции и сопротивления.

Поляр. момент инерции. , для круглого сечения-

Расчетные формулы. , условие жесткости:

Расчеты на прочность и жесткость.

Условие прочности: .Диаметр вала сплошного сечения

Угол закручивания- определяет жесткость.

Вал рассчитывают по 2 условиям и из найденных значений находят большее.

Изгиб.

Основные вопросы:

1. классификация изгибов

2. нагрузки и внутренние силовые факторы

3. построение эпюр нагрузок, правило знаков

4. нормальные напряжение при чистом изгибе

5. касательные напряжения при чистом изгибе

6. перемещение при изгибе

7. дифференциальное уравнение упругой линии балки

8. определение перемещений методом непосредственного интегрирования

Классификация изгибов. Изгиб – вид деформации, когда под действием внешних сил в поперечном сечении стержня (бруса) возникают изгибающие моменты.

Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, наз-ся чистым . Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами действуют и поперечные силы, изгиб наз-ся поперечным .

Иногда в поперечном стержне возникает несколько силовых факторов. Это сложное сопротивление. Расчеты стержней основываются на принципе независимости действия сил.

Опоры и их реакции . Для передачи нагрузок стержень должен быть зафиксирован относительно корпуса с помощью опор- устройств, воспринимающих внешние силы.

Различают 3 основных вида опор- жесткое защемление: 1) заделка- а) исключает осевые, угловые смещения и воспринимает осевые силы и моментную нагрузку,

2) шарнирно-неподвижная опора –б) ,- допускает поворот вокруг оси и не воспринимает момент,

3) шарнирно- подвижная опопра -в),-не допускает смещение стержня, только в направлении 1 из осей и передает нагрузку вдоль этой силы.

Опорные реакции. Под действием внеш. Нагрузок в местах закрепления стержня возникает опорная реакции. х находят из условий равновесия. Анализ внутренних сил начинается после определения реакции.

Внутренние силовые факторы. Стержень на 2-х опорах, нагруженный силами F. Из условия равновесия найдем опорные реакции: . Под действием внеш. сил и опорных реакций стержень б) будет находиться в равновесии. Для определения внутренних силовых факторов в сечении m1-mi участка CD стержня мысленно разрежем на 2 части, рассмотрим равновесие левой в). Чтобы она была в равновесии, приложим к т. Сi неизвестные внутренние силовые факторы: нормальную силу Nx(xi), перерезывающую, изгибающий момент.

Правило знаков. Положит. изгибающий момент изгибает горизонтально расположенный стержень (балку) выпуклостью вниз (а), а отриц. – выпуклостью вверх (б).

Положит. поперечная сила стремится сдвинуть левое сечение стержня вверх относительно правого или правое вниз относительно левого (а). Отриц. поперечная сила имеет противоположное направление (б).

Определение силовых факторов. Перерезывающая сила в сечении стержня = сумме проекций на ось у всех внешних сил, действующих на мысленно отсеченную часть, т.е. . Изгибающий момент в сечении стержня равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, взятых относительно центра тяжести рассматриваемого сечения, т.е.

Ур-я статики: , (чистый изгиб). Если сделать сечение m2-m2 на участке АС и рассмотреть равновесие левой части, то найдем, что при силовые факторы: (поперечный изгиб)

Схема чистого изгиба. Поля прилож. М продольной силы – дуги окружности, поперечного сечения остаются плоскими, т.е. гипотеза плоских сечений справедлива. При чистом изгибе волокна на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой - сжимаются. Существует слой, в котором удлинения отсутствует, его называют нейтральным слоем - нейтральной линией.

Связь напряжений и внутренних факторов. Допускаем, стержень – совокупность растянутых и сжатых элементов стержней длинной l , которые свободно удлиняются и укорачиваются. Нормальные напряжения применяют постоянными по ширине сечения.

Статическая часть задачи. Условие равновесия между силовыми факторами:

Условия б), в),г) удовлет-ся тождественно, условия а),е),д) имеют вид: .

Деформация волокон. ,- относительное удлинение слоя.

Деформация некоторого слоя зависит от его координат z, отсчитываемой от нейтрального слоя. Используем з-н Гука: . Отношение - постоянно для конкретного материала и конкретного случая изгиба. Поэтому напряжения - линейная функция координат z. Для нахождения величины нужно знать положение нейтрального слоя или радиус кривизны.

Нормальное напряжение при изгибе.

Из уравнений а), д), е) с учетом к.

Из ур-я а), т.к. то - это статический момент площади поперечного сечения. Нейтральная ось является центральной осью. Из ур-я е) получим Это центробежный момент инерции, если он = 0 - оси главные, центральные. Из ур-я д) :

где. Расчетная формула полученна путем подстановки в последнюю зависимости из формулы к.

Расчетные формулы.

условие прочности:

Как следует из характеристики распределения, напряженные внутренние слои материала оказываются недогруженными.

Силовые факторы при поперечном изгибе. Гипотезы сопромата распространяются на поперечный изгиб.

Формула касательных напряжений. Выразим силы через нормальное напряжение, а напряжение - через изгибающие моменты, с учетом продольной силы, вызывающей касательное напряжение получаем:

Где А0- площадь отсеченной части. -статический момент отсеченной части. На поверхности в центре = max.

Характер перемещения при изгибе. При изгибе есть 2 типа перемещений: линейные и угловые.

При малых перемещениях.

Уравнение изогнутой оси.

Дифференциальное Ур-е изогнутой оси балки.

Основы направленного состояния материала.

Основные вопросы:

1. виды напряженного состояния

3. закон парности касательных напряжений

4. главные площадки и главные напряжения

5. объемная деформация. Закон Гука

6. удельная потенциальная энергия

7. критерии пластичности и разрушения

8. эквивалентные напряжения

9. гипотезы прочности

Виды напряженного состояния. Оценка прочности детали – это совокупность напряженного состояния в «опасной» точки конструкции с пределом прочности материала. Такая оценка оказывается достаточно точной при одноосновном напряженном состоянии (растяжение, сжатие).

Однако многие элементы конструкции работают в условиях сложного напряженного состояния. Тогда совокупность напряжений в точке элемента сопоставляемыми с механическими характеристиками его материала, то есть вводится эквивалентное напряжение, т.е. напряжение в растянутом образце при котором состояние равноопасно с заданным.


Усилия на наклонных площадках. Растянутый стержень рассечен плоскостью наклонной к поперечному сечению под углом. Из уравнения равновесия следует равнодействующая внутренних сил, в наклонном сечении направление по оси стержня и равна внешней силе, Т.е.

Разложим ее на составляющие:

Нормальную

И касательную

Площадь наклонного сечения (А- площадь нормального сечения).

Нормальные и касательные напряжения распределены по наклонному сечения равномерно. Максимальные нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях стержня (α=0)

Напряжения на наклонных взаимно перпендикулярных плоскостях. В наклонных сечениях действуют одновременно нормальные и касательные напряжения, Которые зависят от угла наклона α. На площадках при α=45 и 135 градусов. При α=90 как нормальные, так и касательные напряжения отсутствуют. Легко показать, что перпендикулярное сечение при

Вывод: 1) в 2-х взаимно перпендикулярных плоскостях алгебраическая сумма нормальных напряжений равна нормальному напряжении в поперечном сечении

2) касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине и пропорциональны по направлению (знаку) закон парности напряжений

Двухосновное растяжение. Пусть на элемент, выделенный из тела, действуют нормальные напряжения. Очевидно, что направление δ1и δ2 являются главным напряжением. Такое напряженное состояние называется двухосным или плоским. Проведем наклонное сечение α, нормаль к которому образовывает с большим из нормальных напряжений δ, угол α, считая положительным углом против хода часовой стрелки.

По площадке α будут действовать нормальные и касательные напряжения. При действии только δ1 получаем

При действии δ2:

Напряжения при двухосном растяжении. При совместном действии δ1и δ2 нетрудно видеть:

На площадке β:

Если одно напряжение принимает максимум, то второе минимум. В этом положении касательное напряжение равно нулю.

Главные площадки. Выделим из элемента наклонную треугольную призму и рассмотрим ее равновесие, проецируя силы на нормаль и касательную к наклонной площадке. ; ;

Исследуя на экстремум выражения можно убедится, что условие экстремума для δα совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений на этих площадках.

Главные напряжения . Нормальные напряжения на этих площадках называются главными. Главные напряжения и положение главных площадок можно найти из первого уравнения. Для определения главных площадок приравниваем второе уравнение к нулю.

Величина напряжений на этих площадках

Объемная деформация материала . Объемной называют деформации элемента под действием взаимно перпендикулярах напряжений, причем принято δ1>δ2>δ3

Для определения деформации в напряжении главных напряжений используют закон Гука. Для линейного напряженного состояния, зависимость между продольной и поперечной деформации и принцип независимости действия сил.

Напряжение δ1 вызывает продольную деформацию и поперечную в направлениях δ2 и δ3:

Аналогично от действия δ2 и δ3:

Обобщенный закон Гука.

Суммируя деформации одного напряжения имеет вид после преобразования главные деформации:

ВСЕ уравнение это обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния. Измененный объем элемента при деформации единого размера:

Относительное изменение объема:

Потенциальная энергия. Эквивалентные напряжения . На растяжение бруса затрачивается работа равная:

ДЛЯ ЕДЕНИЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

Обобщенная формула для объемной деформации:

Для оценки прочности надо сопоставить напряжении в точке конструкции при сложном (плоском, объемном) напряжении состояния надо сопоставить с механическими хара-ми его материала т.е. необходимо установить некоторое эквивалентное напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно с заданным.

Гипотезы прочности. 1-я гипотеза. Разработан ряд гипотез прочности, для оценки опасности материала при сложном напряжении. Важных 4:

1. наибольших нормальных напряжений, то есть δэквивал.=δ1, δ2,δ3 отброшены. Его мы и сравниваем с предельным δэквив.≤δ0(предельное), то есть δ1≤[δ] хорошо согласуется при растяжении стержня.

2. теория наибольших линейных деформации разрушается, тогда, когда εмах=ε1≤ε0 после подстановки δэквив.=δ1-ν(δ2+δ3)≤[δ] Может применяться для хрупких материалов.

3. Теория наибольших касательных напряжений. Материал разрушается, если касательные напряжения достигнет предела. При деформации бруса от напряжения δ1,δ2,δ3 касательное напряжение определяется

После замены напряжений их значений δ1>δ2>δ3, то наибольше касательное напряжение

Хорошо подтверждается для пластичных материалов (стали).

4. энергетическая теория: если энергия изменения объема не превышает предела и материал прочен. Из теории изменения объема

Для случая кручения с изгибом применяется вид

Сложное нагружение. Косой изгиб. Изгиб с кручением .

Основные вопросы :

1. сложное нагружение

2. косой изгиб

3. нейтральная ось

4. определение перемещений и напряжений.

5. внецентренное растяжение

6. определение напряжений при внецентренном растяжении

7. изгиб с кручением валов

8. определение усилий

9. определение напряжений и расчет валов

Понятие о сложном сопротивлении. Сложным сопротивлением называется вид нагруженный, при котором в поперечных сечениях бруса действует 2 или более силовых фактора. Поперечный изгиб также является сложным сопротивлением.

В общем случаи в сечении действуют 6 силовых факторов. Ранее рассмотрены методы расчета напряжений и перемещений от каждого из этих факторов.

При действии нескольких факторов использующий принцип суперпозиции для определенного суммарного результата.

К наиболее распространенным видам сложного сопротивления относятся косой изгиб, внецентренное растяжение и изгиб с кручением. Наиболее распространенное применение и теория прочности для деталей.

Схема сложного нагружения. Стержень нагружен силой F имеющий углы α, β, γ с осями координат, начало которых находится в центре тяжести поперечного сечения. Оси Y и Z являются главными центральными осями инерции. Находятся проекции силы F на оси координат. Применяя метод сечений, устанавливаем, что стержень работает на изгиб в 2-х плоскостях и на осевое растяжение. Если сила F будет расположена в плоскости поперечного сечения, то Fx будет отсутствовать.

Косой изгиб. Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции стержня.

Задачу косого изгиба сводят к одновременному рассмотрению двух плоских (прямых) изгибов, раскрывая изгибающий момент в сечении на 2 момента, действуя в главных плоскостях (проходят через главные оси сечения) Т.к. напряжение от силы Q является второго напряжения порядка от изгиба.

Схема сил при косом изгибе.

На рис. показан консольный стержень, нагруженный силой F, действующий перпендикулярно его оси и составляющей угол φ с главной плоскостью ху. Напряжение в некоторой точке В поперечного сечения на расстоянии х от незакрепленного торца. Моменты, изгибающие стержень в вертикальной и горизонтальной плоскостях х.

Где Fу и Fz - вертикаль и горизонталь, составляющие силы.

F,M- составляющие моменты в сечении

Напряжения и нейтральная ось при косом изгибе. Нормальное напряжение в нейтральной точке с координатами у и z определяются суммой напряжений от моментов Му и Мz т.е.

Максимальное напряжение будет действовать в точках наиболее удаленных от нейтральной линии.

Положение нейтральной линии при косом изгибе найдем из уравнения полога δ=0 обозначая координаты нейтральной линии Y0 и Z0 получим

Видно что нейтральная линия является прямой проходящей через начало координат (центр тяжести поперечного сечения) обозначая через α угол наклона нейтральной линии к оси Z найдем

Внецентренное растяжении . При внецентренном растяжении стержня равнодействующая внешних сил не совпадает с осью бруса, а смещена относительно оси Х.

В произвольном поперечном сечении стержня будет действовать внутренние силовые факторы:

YF,ХF – КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ

MX,MY- изгибающие моменты относительно осей сечения

Схема сил и напряжений в сечении. Для определения нормального напряжения в произвольной точке найдем его составляющие от каждого фактора для случая внецентренного растяжения.

Нормальное напряжение равно:

Т.Е. эпюра напряжений является плоскостью.

Положение точки К и эпюры напряжения от каждого фактора показано на рис. Для определения нейтральной оси заменим моменты сил их значением и приравняем: Отсюда находим координаты YК,XК

Изгиб с растяжением. В общем, случаи на стержень могут действовать как продольные, так и поперечные нагрузки.

Если предположить себе сочетание рассмотренного выше косого изгиба с осевым растяжением или сжатием, то такое нагружение приводит к появлению в поперечных сечениях стержня изгибающих моментов MX,MY поперечных сил Qz Qy и продольной силы N. Например в сечении консольного стержня будет действовать следующие силовые факторы (без учета правила знаков).

Напряжение в стержне. Нормальное напряжение вызывает растягивающую силу FX , во всех поперечных сечениях стержня одинаково и равномерно распределяется по сечению. Это напряжение определяется по формуле: , где А- площадь поперечного сечения стержня

Применяя принцип независимости действия сил с учетом ранее полученной формулы нормальное напряжение в произвольной точке С

Тогда наибольшее напряжение δмах в поперечном сечении:

Условие поперечности по допускаемым напряжениям в расчетном случаи имеет вид: δмах≤[δ]

Изгиб с кручением валов .Многие элементы конструкции машин работают в условиях кручения и изгиба. Например, валы зубчатой передачи от сил в зацеплении зубьев передают крутящие и изгибающие моментов, валы ременной передачи испытывают такие же нагрузки от разности напряжений ремней.

Для решения вопросов работоспособности материала строятся эпюры крутящих и изгибающих моментов, а затем напряжений.

Схема вала зубчатой передачи. Для определения нагрузок строим схему вала и нагружаем его изгибающими и крутящими моментами и строим эпюры крутящих и изгибающих моментов.

Напряжение в поперечном сечении. Находим опасную тоску С и для нее вычисляем , где Z – расстояние от нейтральной оси ; ρ – радиус вектор от начала осей координат

Тогда эквивалентные напряжения по 4-той теории прочности

Устойчивость сжатых стержней

1) Общие понятия об устойчивости систем

2) Продольный изгиб. Критическая сила. Формула Эйлера.

3) Концевые крепления стержней

4) Предел применимости формулы Эйлера.

5) Практические расчеты на сжатие.

Основные понятия об устойчивости. Под устойчивостью равновесия понимается свойство системы сохранять свое состояние при отклонении ее от исходного состояния взаимодействия внешних сил. В реальных условиях есть причина, по которой происходит отклонение системы от исходного равновесия. Если после прекращения действия внешних сил система возвращается в исходное положение, то такое положение называется устойчивым, если не возвращается, переходит в новое состояние – неустойчивым. Переход из одного состояние в другое в этом случае – потеря устойчивости. Потеря устойчивости зависит от величины воздействующей силы. Сила (или другой параметр) характеризуется переходом из устойчивого состояния в неустойчивое – критическая сила. Для обеспечения работоспособности системы необходимо чтобы реальная часть составляла лишь часть от критической силы.

Устойчивость сжатых стержней. Деформируемые тела, в том числе стержни находятся в устойчивом или неустойчивом состоянии. Другие тела, так же как и твердые тела, могут находиться в устойчивом равновесии. Если тонкий прямой стержень сжимать вдоль геометрической оси постоянно увеличивая силу, то сначала он будет прямым под действием напряжений сжатия, где А - площадь поперечного сечения стержня. А затем при некоторой нагрузке Fкр, называемой критической, стержень резко изгибается, напряжения в нем быстро возрастают, и возникает опасность разрушения. Это явление называют потерей устойчивости. Если стержень растягивать продольной силой, то он всегда находится в устойчивом (единственном) положении равновесия.

Задача Эйлера. Для выяснения условий, при которых становятся возмож­ными различные состояния равновесия, рассмотрим пример (задача Эйлера) о сжатии стержня. Критическая сила в этой задаче будет равна такой осевой силе, при кото­рой стержень может находиться в слегка изогнутом состоянии.

При малых прогибах стержня можно использовать диф­ференциальное уравнение изогнутой оси в виде. Знак минус в правой части показывает, что момент силы стремится увеличить отрицательную кривизну упругой линии. Уравнение можно переписать в виде, .

Решение уравнения . , где C 1 и С 2 - произвольные постоянные, определяемые из краевых условий: 1)при х = 0 у (0) = 0; 2)при х = l у (1) = 0.

Отсюда следует, что С 2 = 0; второе условие может быть выполнено лишь при условии, что С 1 sin kx = 0 . Таким образом уравнение имеет два решения: а) С 1 = 0, б) sin kl = 0 .

При С 1 = С 2 = 0 перемещения у тождественно равны нулю и стержень сохраняет прямолинейную форму. Этот случай не удовлетворяет условиям задачи, так как рассматривается изогнутый стержень. Следовательно, стержень может изо­гнуться лишь при условии при kl = n p , где п - произвольное целое число.

При малой силе F, пока величина, значение и стержень будет сохранять прямолинейную форму. Как только, стержень потеряет устойчивость и изогнется.

Эта сила, соот­ветствующая n = 1, называется Эйлеровой силой, или первой критической силой. При этом стержень изгибается по полу­волне синусоиды.

Формы прогибов стержней . Стержень изгибается по полу­волне синусоиды . При n=1, с максимальным изгибом С 1 . При п > 1 упругая линия стержня изображается кривой, включающей п полуволн. Однако эти неустойчивые формы равновесия не имеют практического значения, так как уже при п = 1 стержень «теряет» несущую способность.

Влияние закрепления стержня. Величина Fкр зависит от условий закрепления стержня, характера нагружения и формы сечений (момента инерции) стержня. Например, если шарнирно закрепленный стержень связать с еще одной опорой посредине (а), то при потере устойчивости он изогнется по 2-м полуволнам (как двухопорный стержень длиной) и. Стержень жестко закрепленный на одном конце и свободный на другом, нагруженном конце будет иметь такую же критическую силу как и двухопорный стержень с условной длиной 2l .

Формула Эйлера.

В общем случае формулу Эйлера можно представить в форме, где m - коэффициент приведения длины. Критической нагрузке соответствует напряжение сжатия

Где l - коэффициент, характеризующий приведенную гибкость стержня (с учетом условий его нагружения и опирания): , где i - радиус инерции сечения: . Отметим, что критическую силу и напряжения определяют по минимальному моменту инерции сечения.

Предельные напряжения . Критические напряжения – характеристика конструкций (зависит от λ). Кривая 1 (гипербола Эйлера) это для упругого состояния. Для очень гибких стержней (λ>100) потеря устойчивости наступает при напряжениях ниже предела текучести, т.е. критерий работоспособности конструкций. Пусть гибкость при напряжениях предела пропорциональной, тогда она зависит только от механических характеристик материала.

Предел применимости формулы Эйлера . При малых значениях λ<40 стержень теряет работоспособность из-за наступления пластических деформаций, потери устойчивости не происходит и предельное напряжение равно пределу текучести. При средних значениях (40< λ<100) для стержня из стали (Ст3) наблюдается потеря устойчивости стержня, сопровождаемая упругопластическими деформациями (2). Для этого случая нагружения формула Эйлера не справедлива, и критические напряжения вычисляют по эмпирической формуле Ясинского: , основанной на аппроксимации кривой, отрезком прямой. Коэффициент и для сталей марок Ст2, Ст3 и Ст5. В реальных деталях стержневой формы (винтах, стойках и др.) неизбежны отклонения оси стержня от прямолиней­ного направления и внецентренное приложение сжимающих сил, поэтому потеря устойчивости стержня происходит при напряжениях, меньших критических.

Практические расчеты. Расчет сжатых стержней ведется также, как и растянутых стержней, но допускаемые напря­жения принимают в зависимости от гибкости: , где φ- коэффициент снижения допускаемых напряжений. Фактический коэффициент запаса устойчивости в этом случае определяется как: .

Усталость материалов.

1. Циклы переменных напряжений

2. Усталость материалов

3. Кривая усталости

4. Предел выносливости

5. Влияние конструктивных и технологических факторов на предел выносливости

6. Расчет прочности при переменных напряжениях.

Переменные напряжения. Большинство деталей машин в рабочих условиях испытывают переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени (циклические напряжения). Они возникают в деталях от изменения нагрузки, а также в связи с изменением положения их сечений по отношению к постоянной нагрузке (напр., при вращении детали). З-ны изменения переменных напряжений могут быть различными, но все их можно представить в форме простейших гармоник синусоиды и косинусоиды.

Периодическое изменение напряжений во времени происходит от наибольшего значения σ max до наименьшего σ min и обратно. Переменные напряжения могут быть также касательными.

Число циклов напряжений в секунду называется частотой нагрузки .

Циклы напряжений

Циклы могут быть знакопостоянными (а и в) или знакопеременными, пульсирующими.

Любой цикл может хар-ся средним напряжением σ m = (σ max + σ min)/ 2

и амплитудой переменного напряжения σ а = (σ max - σ min)/ 2

Отношение r = σ min / σ max наз-ся коэффициентом асимметрии цикла.

В цикле б среднее напряжение = 0, такой цикл наз-ся симметричным.

(σ max ≥ σ а ≥ σ min ; r = -1) Если max или min напряжение цикла =0, то его называют пульсирующим или нулевым (для цикла в, r = 0)

Усталость материалов. Переменные напряжения, появляющиеся в деталях машин от изменения нагрузки или изменения их положения по отношению к постоянной нагрузке.(напр., при вращении) приводят к внезапному разрушению детали, хотя величина этих напряжений существенно ниже предела текучести(допускаемых напряжений). Это явление получило название усталости. Усталостное разрушение начинается с накопления повреждений, появления трещин, постепенно развивающихся внутрь, что приводит к увеличению напряжений неповрежденной части.

Предел выносливости. Число циклов до момента разрушения зависит от амплитуды напряжений в весьма широких пределах. Способность материала противостоять действию переменных нагрузок наз-ся сопротивлением усталости (имеют место случаи, когда деталь разрушается при больших напряжениях через несколько циклов, а при меньших способна работать неограниченно долго).

Оценивают сопротивление усталости с помощью предела выносливости, определяемого экспериментально на спец. машинах или стендах.(предел выносливости - число циклов до разрушения)

Методика испытаний. Если стальной образец выдержал 10млн. циклов, то полагают, что он может выдержать без разруш-я и большее число циклов. 10 7 – базовое число.

Диаграмма усталости. По результатам испытаний строят кривую усталости. Наибольшее значение напряжения цикла, которое образец выдерживает до базы испытаний, называют пределом выносливости. При симметричном цикле предел выносливости обозначается через σ -1 , при пульсирующем -σ 0 , при ассиметричном –σ r . Для расчета деталей не предназначенных на длительный срок службы вводится понятие ограниченного предела выносливости σ rN , N – заданное(меньше базового) число циклов

Приближенные значения между пределами выносливости при изгибе и пределами выносливости для других видов деформации: , .

Уравнение кривой усталости. Зависимость между переменным напряжением σ max и числом циклов до разрушения достаточно точно описывается уравнением σ max m N=C, где m и с – постоянные для данного матер-ла, температуры и окр. среды; N σ -базовое число цикла.

В логарифмич.коорд. ур-е кривой уст-ти lg σ max = (I/m)lg N + (1/m) lg C

Тангенс угла наклона прямой β | tgβ | = 1/m

С увелич.знач-я m наклон прямой к оси lg = N уменьш-ся и при m→∞ прямая становится горизонтальной. Обычно m=4…10

Ур-е справедливо и для точки перегиба А кривой уст-ти, т.е.

С=σ r m N σ тогда получим (σ max / σ 1) m = N σ / N, откуда N= N σ (σ max / σ 1) m

Эта завис-ть исп-ся для определения ресурса работы Эл-тов констр-ций при известном уровне работы переменных напряж-ий σ max и знач. N σ и σ

Диаграмма предельных напряж-ий

Пределы выносливости завис.от коэф.ассиметрии цикла. По рез-там испытаний строят диагр.предельных амплитуд напряж-ий. Аппроксимируя ее, получаем линейн.завис-ть s а0 = s -1 - s т, где - коэф.,хар-щий чувствит-ть матер.к ассим-ии цикла(для касат.или норм.напряж-ий), зависит от предела прочности матер.

Влияние концентраторов напряж-ий.

Опытами установлено,что в зонах резких изм-ий конст-ий возник.повыш.напряж-я – концентрация напряж-я. Их величина σ max = α σ σ n

α σ – коэф.конц-ии, σ n – номинальное знач-е.

Эффективный коэф.конц-ии.

Эксперимент-но в реал.матер. коэф.конц-ии к s = s -1 /s -1к, где s -1к – предел с конц-ром напряж-я.
Коэф.конц. для валов с галтетью.

Чем <ρ, тем конц.напряж-ий выше.

Масштабный эффект.

На конц.влияет размер детали, кот. учит-ют коэф.масштаб.эффекта.

Состояние пов-ти.

Учит-ся коэф.качества β. Коэффициент b < 1 характеризует снижение предела выносливости при ухудшении обработки по сравнению с полировкой. Значения коэффициента b приводятся в справочной литературе.

Условия прочности при перемен.напряж-ях.

Уравнение граничной прямой на диаграммы предельных напряжений

s а0 = s -1 - s т,

для выявления предельного состояния материала преобразуем к виду

s а0 + sf т, £ s -1 .

Если ввести, как обычно, понятие эквивалентного переменного напряжения

s экв = s а + f s s т,

то условием надежности материала будет выражение

s экв £ s -1 .

Влияние концентрации напряжений, масштабного эффекта и состояния поверхности следует относить, как показали экспериментальные исследования, только к переменной составляющей цикла.

С учетом этого

s экв = s а к s / e s b s + f s s т

и условие сопротивления усталости примет вид

s экв = s а к s / e s b s + f s s т £ s -1.

При действии касательных напряжений условие сопротивления усталости будет

s экв = τ а к τ / e τ b τ + f τ τ т ≤ τ -1

Запасы проч-ти при переем.напряж-ях.

Для оценки надежности элемента определяют запас прочности. Принимаем, что в процессе работы переменное и постоянное напряжения изменяются пропорционально. Запас прочности детали в точке - это отношение предельного значения напряжений в точке к действующим эквивалентным (нормальным и касательным) напряжениям.

Тогда подставляя соответствующие напряжения из условий прочности, получим

При совместном действии нормальных и касательных напряжений запас прочности находят по формуле

Полученные значения запасов прочности следует сопоставлять с их допустимыми значениями. Обычно принимают п ³ 1,5.

Расчет оболочек вращ-я. Расчеты за пределами упругости.

Понятие тонкостные оболочки вращ-я

Определение напряж-ий

Анализ прочности

Расчет прочности стержня при изгибе и кручении за предел.упр-ти.

Тонкос.обол.вращ-я.

При оценке прочностной надеж-ти ряд распростр.эл-тов констр-ий схематизир-ют в форме тонкост.обол.вращ-я.

Если нагрузка на обол.осесимметрична, то опр-е напряж-ий в стенках не вызывает затруднений. При толщине стенки не свыше 0,1 минимал.радиуса ее кривизны с приемл.для практики точностью принимают, что в стенках от внеш.нагрузки возник.только норм.напряж-я, кот.постоянны по толщине.

В кач-ве примера можно рассм.сосуд под давлением.

Рассм.сосуд(а) под давл.Двумя попереч.и двумя продол.сеч-ями вырежем из стенки беск.малый эл-т с длиной граней dl (б)В этих сечениях действ.осевые s т и окружные(кольцевые) σ β напряж-я, т.е. вырез.эл-ты наход-ся в плоском напряженном состоянии.

Напряж-я в оболочке.

Осевые напряж-я, вызыв.осевой силой:

N=qπR 2 = π Dδ σ m

R-внутр.радиус сферич.части, отсюда D≈ 2R – сред.диаметр цилиндр.части сосуда

δ – толщина стенки.

Площадь кольцевого сечения А m = π DS, из этого ур-я σ m = N / А m =qD/4 δ

Окружные напряж-я вызыв-ся силами dN 0 = δ 0 ⌠∂ l , кот.должны уравновеш.силу dF R , обусловл. Давлением q, действ.на пов-ть эл-та dF R =qdl 2

Состав.ур-е равновес.,проецируя силы dN 0 и dF R на напр.радиуса в середине эл-та 2 dN 0 sin(dQ/2)-dF R =0

Анализ напряж-ий.

Тогда 2σ 0 δ dl sin(dQ/2)= q dl 2

dl= Rd0 и sin(dQ/2) ≈ dQ/2

Получим σ 0 = qD/2 δ.

Сравнивая с предыдущ. σ m напряж-ем в попереч.напр.(по кольцу),сеч. В 2раза больше(в продол.сост.), чем вдоль трубы(попереч.сеч.) Это обст-во учит.на практике при изготов.составных резервуаров. Подол.сварные швы выполняют более прочными, чем попереч.швы. В сферич.сосуде напряж-я на гранях будут одинак.

Схема напряж-ия при расчетах за пределом упругости материала.

Max касат.напряж-я при кручении действ. В крайних волокнах и пластич.деформ.возник.сначала на контуре сечения. Пластич-ая зона при увелич. нагрузки будет развиваться внутрь сечения. Для идеал. Упругопластичного материала переход в предел.состояние показан на рис.

На а) показ.распределение напряж-ий для упруг.сост-я, сохр-ся до τ max = τ т,

На б) при τ max = τ т, когда впервые появл-ся пластич. Деформ.,

На рис в) – предельное состояние.

Предельный момент кручения.

Предел.знач-е момента легко устанавл-ся из условия равновесия.

T кр = А ∫ dT = А ∫ ρ d F т = А ∫ ρ τ т dA = А ∫ ρ2πρ τ т ρ dρ = π τ т ρ 3 /3| a 0 = (πD 3 /12) τ т

Найдем отношение T кр к max знач. T m момента в упруг.сост.

T m = T т W p = τ т W p

Получим T кр /T т =4/3.

Расчет на изгиб за предел.упруг-ти.

Эксперимент. Установлено, что при упругопласт.изгибе з-н плоских сечений сохр-ся. Поэт.деф.лин.зависят от корд. y. На рис. А) показ. попереч.сеч.; упругое распеределение деф. И напряж-ий по высоте сеч-я (б и в); упругопласт.(г) и предельное состояние(д).

Вывод: Расчет предел.момента.Зона пласт.деф. распр-ся внутрь сеч.и, когда во всем сеч.норм.напряж-я достиг.предела текучести, обр-ся предел.состояние и балка не может передавать большей нагрузки. Предел.момент находят путем интегрирования:

M пред = А ∫ dM = h /2 ∫ σ т b y d y = σ т b h 2 /4

Max знач.изгиб.момента для упруг.распределения напряж, когда только в крайнем волокне будет: М τ = σ т b h 2 /6

Отношение M пред / М τ = 3/2

Контактные напряж-я.

Контакт.назыв.напряж. в зоне контакта дет.машин. на практике часто появл-ся необх-ть опред-я напряж-ий и деформ.в этих зонах, как при расчете на контакт.прочность(зубч. и фрикционные передачи),так и для оценки предела выносливости(резьбовые и прессовые соед-я).

Конструкционные контакт. задачи решают методами теории купругости, как пр-ло, приближенно. Точные реш-я получены лишь для задач об упруг. Контакте деталей простой формы(цилиндры, шары и т.д.)

Для понимания принципа подхода при решении контактных задач рассм.взаимодействие цилиндра(задача Герца)

Схема контакта двух цилиндров.

Рассм. Напряж.сост. 2-х длинных цилиндров с || осями, сжатых распредел.по длине радиальными нагрузками Р.На расстоянии Е от пл-ти проход.через оси цилиндра, возьмем две точки А1 и А2.

Если контакт цилиндров без нагрузки происх.по линии || их осям, через т.В, то при нагрузке по площадке 2a*l (l – длина стержня).

Контакт однород.материалов.

Если цилиндры изготов.из матер., у кот. Е1 =Е2 и μ1 = μ2, то

q max = 0,418√ (pE(R1+R2)/R1R2)

a = 1,52√ (p/E * (R1R2)/(R1+R2))

δ = 2(1-ν 2)/πE * p* (ln (4R1R2/a 2) + 0,815)

а зависит от р, то смещение δ явл-ся нелинейной ф-цией от p, хотя матер.цил.упругий.

Эта задача впервые решена Герцем.

Статически неопределимые системы. Понятие статич.неопредел-ти.

Из матем.известно, что число ур-ий должно быть = числу неизвестных. Величин, иначе система нерешаема.(статич.неопределима).В сопромате статич.неолпр-мыми наз-ся системы, в кот. для опр-я р-ций (или внутр.сил.факторов) недостаточно ур-я равновесия. Число недостающих Ур-ий – степень неопр-ти.

Метод раскрытия статич.неопр-ти.

Включение в число ур-ий ур-ий совместности деформации стержней. Наиб.распр.метод сил, когда Ур-я совместности деформ. Выр-ся через действующие силы.

Например, задача о составном стержне.

Пусть стержень сост.из двух частей.

Из ур-ий статики 1 ур-е ∑y =0.

∑y = R K + R B –F =0.

Задача статически не решаема

Добавим Ур-е совместности деформ.

ΔА = - F l 2 /E 2 A 2 ;

Δx = x l 1 / E 1 A 1 + x l 2 /E 2 A 2 ;

x = R K = F/(1 + l 1 / l 2 * E 2 A 2 / E 1 A 1);

Динамические нагрузки. Удар .

1) Динамические нагрузки

2) Учет сил инерции

4) Ударные нагрузки. Определение напряжений и перемещений.

Температурная задача. Вторая группа задач статистики неопределимых систем состоит в учете усилий от стеснения температурной деформации. Определим усилия и напряжения в закрепленном стержне длиной l , с сечением А при изменении температуры на, если коэффициент линейного расширения равен α, а модуль упругости Е. Статистическая сторона задачи сводится к. Обратимся к геометрической стороне задачи. Свободная температурная деформация стержня равна и реализуется при освобождении правого конца стержня.

Решение и анализ. Вводя неизвестное усилие х, устраняем температурное расширение, т.к. по смыслу задачи и, -не зависит от размера стержня. При стержень работает на сжатие. При этом σ достигает больших значений.

Динамические нагрузки. Динамические нагрузки возникают в элементах конструкций при их движении с ускорением. Расчет внутренних силовых факторов и напряжений проводится с учетом сил инерции и механических свойств материалов при высоких скоростях нагружения. Общий метод расчета основан на принципе Даламбера, используя который, элемент конструкции приводят в состояние мгновенного равновесия путем приложения к нему сил инерции. Далее описанным выше методом определяют деформации и напряжения. Рассмотрим учет динамических нагрузок на примере колебательных движений вращения кольца или ударного напряжения.

Схема одномассовой колебательной системы. Простейшая динамическая система включает массу, закрепленную на пружине. При рассмотрении упругих колебаний системы различают собственные и вынужденные колебания. Собственными (свободными) называют колебания которые совершает система при отсутствии внешних воздействий. Если в начальный момент отклонить массу на величину а и предоставить систему самой себе, то возникнут собственные колебания и смещение центра массы в момент времени t будет, где а - амплитуда колебаний – максимальное отклонение центра массы от положения равновесия; р- круговая частота колебания; .

Параметры системы . Круговая частота, где λ-податливость пружины, мм/Н (осадка пружины под действием силы в 1Н); m – масса груза. Промежуток времени между двумя одинаковыми положениями системы называют периодом колебаний. Величину, обратную периоду колебаний, называют частотой колебаний (число колебаний в 1с): . Круговая частота, представляющая число колебаний за 2π секунд: . Т.к. в системе всегда имеются силы трения, то собственные колебания всегда затухают. Вынужденными называют колебания происходящие под действием внешней периодической возмущающей силы. Если к системе приложена внешняя сила, то в системе возникают вынужденные колебания с частотой ω. Отклонение массы будет, - осадка пружины при статистическом действии амплитуды возмущающей силы.

Понятие резонанса. Расчетные модули системы . При совпадении частоты ω возбуждающей силы с частотой собственных колебаний наступает резонанс, и амплитуда колебаний стремится к бесконечности. В действительности благодаря трению амплитуда остается конечной, но достигает большей величины. Резонанс представляет собой большую опасность для прочности конструкций и его следует избегать. Резонансы наиболее часто устраняют за счет изменения собственной частоты колебаний, реже – за счет изменения частоты возбуждающей силы. Основная задача расчета конструкции на колебания (вибрацию) состоит в определении собственных и резонансных частот колебаний. Сложность теоретического анализа колебаний зависит от числа независимых координат, определяющих однозначно положения точек в системе. Математическое описание такой системы может быть выполнено с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. В упрощенных расчетах легкие части считают невесомыми, но деформируемыми, тяжелые части абсолютно твердыми телами – материальными точками. Движение такой системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением.

Ударное нагружение систем. При ударе (внезапном нагружении с очень высокой скоростью), определение сил инерции затруднено, поэтому для приближенного определения динамических напряжений и деформаций используют закон сохранения энергии и предполагают, что ударяющее тело не отскакивает от конструкции после соприкосновения, а перемещается вместе с ней (неупругий удар). Рассмотрим задачу об ударе груза массой m, движущегося со скоростью υ 0 по стержню с осевой податливостью, где Е-модуль упругости материала, А – площадь поперечного сечения стержня.

Коэффициент динамичности. Кинетическая энергия греза после касания со стержнем будет накапливаться в нем в виде потенциальной энергии растянутого на величину стержня и изменения потенциальной энергии груза на этом же перемещении. Энергетический баланс. Откуда, - удлинение стержня при статическом нагружении силой тяжести груза; -коэффициент динамичности.

Динамические напряжения. Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз возрастает перемещение упругого элемента за счет удара по сравнению со статистическим перемещением. Существенно: напряжения в теле возрастают пропорционально. Динамические напряжения, таким образом, зависят от кинетической энергии.

Центробежные нагрузки. Применяя принцип Даламбера, определим напряжения в равномерно вращающемся кольце. Такая модель используется в расчетах ремней передач и других деталей. Вращающееся кольцо деформируется центробежными силами инерции, равномерно распределенными по окружности (рис. а). Сила инерции, действующая на элемент кольца длиной 1 мм, где - масса элемента кольца, где ρ – плотность материала; А- площадь сечения; ω – угловая скорость кольца; r – средний радиус кольца.

Напряжения во вращающемся кольце. Двумя радиальными плоскостями вырежем из кольца бесконечно малый элемент (рис.b). Сила инерции, действующая на элемент длиной: (q-масса материала). Эта сила уравновешивается нормальными силами N 0 в сечении от окружных растягивающих напряжений σ 0: . Проецируя силы N 0 на линию действия силы составим уравнения равновесия элемента: , где ρ – плотность; - окружная скорость кольца.

Рассмотрим расчетную схему балки с произвольной распределенной нагрузкой (рис.2).

Рис.2. Схема изгиба балки:
а) расчетная модель, б) фрагмент балки

Составим уравнение равновесия:

Таким образом, действительно: первая производная от внутреннего изгибающего момента по линейной координате равна поперечной силе в сечении.

Это известное свойство функции и ее первой производной успешно используется при проверке правильности построения эпюр. Так, для расчетной схемы консольной балки (рис.1) эта связь дает следующие проверочные результаты:

И М убывает от 0 до –Pl .

И М х .

Рассмотрим второй характерный пример изгиба двухопорной балки (рис.3).

а) расчетная схема, б) модель первого участка, в) модель второго участка, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

Рис.3. Изгиб двухопорной балки:

Очевидно, что опорные реакции R A = R B :

  • < б) (рис.3 участка первого>
  • для второго участка (рис.3 в) –

Эпюры внутренних усилий представлены соответственно на рис.3 г и 3 д.

На основе дифференциальной связи Q и М , получим:

  • для первого участка:

Q > 0 и М возрастает от нуля до .

Q = const и M x

  • для второго участка:

Q < 0 и М убывает с до нуля.

Q = const и M также пропорционален х , т.е. изменяется по линейному закону.

Опасным в данном примере является сечение балки в центре пролета:

Третий характерный пример связан с использованием распределенной по длине балки нагрузки (рис.4). Следуя методике, принятой ранее, очевидно равенство опорных реакций: , а для искомого сечения (рис.4 б) выражения для внутренних усилий приобретают вид:

а) расчетная схема, б) отсеченная часть, в) эпюра поперечных сил, г) эпюра внутренних изгибающих моментов

Рис.4 Двухопорная балка с равномерно распределенной нагрузкой:

На обеих опорах изгибающий момент отсутствует. Тем не менее опасным сечением балки будет центр пролета при . Действительно, исходя из свойства функции и производной при , внутренний изгибающий момент достигает экстремума. Для нахождения исходной координаты х 0 (рис.4 в) в общем случае приравняем выражение поперечной силы к нулю. В итоге получим

После подстановки в выражение изгибающего момента получим:

Таким образом,

Необходимо отметить, что техника построения эпюр при изгибе наиболее трудно усваивается слушателями. Вам представляется возможность научиться «быстрому» построению эпюр на тесторе-тренажере, приведенном в ПРИЛОЖЕНИИ и решить в выходных тестах по сопротивлению материалов Вам знакомые по постановке задачи позиции.

Лекция № 5. Понятие о напряжениях и деформациях

Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n . В окрестности этой точки выделим малую площадку F . Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через P (рис. 1 а ). При уменьшении размеров площадки соответственно

Рис.1. Композиция вектора напряжения.
а) вектор полного напряжения б) вектор нормального и касательного напряжений

уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при получим

Аналогичный предел для главного момента равен нулю. Введенный таким образом векторр n называется вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F , характеризуемой вектором п . Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке.

В общем случае направление вектора напряженийр n не совпадает с направлением вектора нормали п . Проекция векторар n на направление вектора п называется нормальным напряжением , а проекция на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную векторуn, - касательным напряжением (рис. 1 б ).

Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м 2 .

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторой точки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r(х, у, z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М / , характеризуемое радиус-вектором r " (х, у, z). Вектор u=r"-r называется вектором, перемещений точки М. Проекции вектора u на координатные оси определяют компоненты вектора перемещений и(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z), равные разности декартовых координат точки тела после и до деформации.

Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткоецелое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.

Рис.2. Композиция вектора перемещения

Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку N, расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направления вектора s обозначим через (рис. 2). В деформированном состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М" и N’ ), расстояние между которыми обозначим через s". Предел отношения

называется относительной линейной деформацией в точке М в направлении вектора s, рис.3. Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдоль координатных осей Ох, Оу и Oz , получим три компоненты относительных линейных деформаций характеризующих изменение объема тела в процессе деформации. , связанных с поворотами отрезков

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте , исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

    Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.

    реферат , добавлен 23.06.2010

    Потенциальная энергия заряда в однородном поле и потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Понятие разности потенциалов. Связь напряжения и напряженности. Принцип суперпозиции для потенциалов. Понятие эквипотенциальных поверхностей.

    контрольная работа , добавлен 06.10.2013

    Общая характеристика сопротивления материалов. Анализ прочности, жесткости, устойчивости. Сущность схематизации геометрии реального объекта. Брус, оболочка, пластина, массив как отдельные тела простой геометрической формы. Особенности напряжения.

    презентация , добавлен 22.11.2012

    Определение размеров поперечных сечений стержней, моделирующих конструкцию робота-манипулятора. Вычисление деформации элементов конструкции, линейного и углового перемещения захвата. Построение матрицы податливости системы с помощью интеграла Мора.

    курсовая работа , добавлен 05.04.2013

    Вычисление реакций опор в рамах и балках с буквенными и числовыми обозначениями нагрузки. Подобор номеров двутавровых сечений. Проведение расчета поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр внутренних усилий. Определение перемещения точек.

    курсовая работа , добавлен 05.01.2015

    Теорема о циркуляции вектора. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия. Разность потенциалов, связь между ними и напряженностью. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Расчет потенциалов простейших электростатических полей.

    презентация , добавлен 13.02.2016

    Энергия ветра и возможности её использовании. Работа поверхности при действии на нее силы ветра. Работа ветрового колеса крыльчатого ветродвигателя. Перспективы развития ветроэнергетики в Казахстане. Преимущества и недостатки систем ветродвигателей.

    реферат , добавлен 27.10.2014

    Задача сопротивления материалов как науки об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций. Внешние силы и перемещения. Классификация нагрузки по характеру действия. Понятие расчетной схемы, схематизация нагрузок.

    НАГРУЗКИ

    Рассмотрим балку, находящуюся под действием плоской системы сил (рис. 12.7). Двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии друг от друга, выделим из балки элемент так, чтобы на него не действовали внешние сосредоточенные силы и моменты.

    На левый торец элемента действуют внутренние усилия М и Q (рис. 13.7), а на правый Здесь представляют собой приращения величин внутренних усилий на участке балки. Кроме того, на элемент действует распределенная нагрузка, перпендикулярная к оси балки; интенсивность ее у левого конца элемента равна q, а у правого (рис. 13.7) .

    Так как вся балка в целом находится в равновесии, то в равновесии находится и ее элемент Составим уравнение равновесия элемента в виде суммы проекций на ось у всех действующих на него сил (рис. 13.7):

    Здесь второе слагаемое представляет собой величину высшего порядка малости; отбрасывая его, получаем

    Итак, первая производная от. поперечной i силы по абсциссе сечения равна интенсивно распределенной нагрузки, перпендикулярной к оси балки.

    Составим теперь уравнение равновесия элемента в виде суммы моментов действующих на него сил относительно точки К (рис. 13.7):

    Отбросив бесконечно малые величины высших (второго и третьего) порядков, получим:

    Таким образом, первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе. Эта зависимость называется теоремой Журавского.

    Зависимости (5.7) и (6.7) действительны, когда абсцисса поперечного сечения возрастает от левого конца балки к правому. Если, наоборот, абсцисса х возрастает от правого конца балки к левому, то в правых частях формул (5.7) и (6.7) перед q и Q должен стоять знак «минус».

    Из курса высшей математики известен геометрический смысл первой производной при любом значении аргумента она равна тангенсу угла а между касательной к кривой (в точке с координатами и положительным направлением оси Положительные и отрицательные значения угла а показаны на рис. 14.7, а.

    Если первая производная (а следовательно, и угол а) положительна, то функция возрастает (точка на рис. 14.7, а), а если она отрицательна, - то убывает (точка на рис. 14.7, а). Экстремум (максимум или минимум) функции имеется при тех значениях при которых производная равна нулю и, следовательно, угол а также равен нулю, т. е. касательная к кривой параллельна оси (точка К на рис. 14.7, а).

    Используя изложенные зависимости между функцией и ее первой производной, из теоремы Журавского можно сделать ряд важных выводов:

    1. Тангенс угла между касательной к линии, ограничивающей эпюру М, и осью эпюры равен поперечной силе Q (рис. 14.7, б, в), т. е.

    Так, например, тангенс отрицательного угла а (рис. 10.7, в) на участке II балки, изображенной на рис. 10.7, а, имеет значение т. е. равен поперечной силе Q на этом участке (рис. 10.7, б). На участках III и IV этой же балки поперечные силы Q одинаковы и равны (см. рис. 10.7, б). В соответствии с этим прямые на рис. 10.7, в параллельны друг другу; тангенс угла их наклона к оси эпюры равен

    2. На участках балки, на которых поперечная сила положительна, изгибающий момент возрастает (слева направо), а на участках, на которых она отрицательна, - убывает.

    Для примера на рис. 15.7, а изображены четыре эпюры Q, а под каждой из них на рис. 15.7, б, два из возможных вариантов эпюры М. Первым двум эпюрам Q (с положительными ординатами) соответствуют эпюры М с возрастающими (слева направо) ординатами, т. е. с положительными углами Последним двум эпюрам Q (с отрицательными ординатами) соответствуют эпюры М с убывающими (слева направо) ординатами, т. е. с отрицательными углами Этот же вывод можно проиллюстрировать эпюрами Q и М, изображенными на рис. 10.7: на участке II балки поперечная сила отрицательна, а на участке III - положительна (см. рис. 10.7, б); в соответствии с этим на участке II изгибающие моменты убывают (в алгебраическом смысле), а на участке - возрастают (см. рис. 10.7, в).

    3. Чем больше по абсолютной величине значение поперечной силы Q, тем круче линия, ограничивающая эпюру М. Этот вывод непосредственно вытекает из зависимости (7.7). В соответствии с данным выводом линии, ограничивающие эпюры М (рис. 15.7, б, в), круче в точках чем в точках а, так как поперечные силы больше по абсолютной величине, чем Линии, ограничивающие эпюры М, не могут иметь очертаний, показанных на рис. 15.7, б, в пунктиром, так как они тогда были бы круче в точках а, чем в точках b, что невозможно при поперечных силах меньших (по абсолютной величине) Такую же зависимость между эпюрами Q и М можно проследить и на рис. 10.7 и 11.7.

    На основании рис. 15.7 можно сделать вывод о том, что на участке балки с возрастающими (в алгебраическом смысле) слева направо значениями Q линия, ограничивающая эпюру М, обращена выпуклостью вниз, а с убывающими - выпуклостью вверх.

    4. На участке балки, на котором поперечная сила имеет постоянное значение, эпюра М ограничена прямой линией (см., например, на рис. 10.7 эпюры Q и М на участках III и IV балки). При эта линия наклонена к оси эпюры М под некоторым углом (где - см. вывод 1), а при она параллельна оси эпюры.

    (см. скан)

    В последнем случае соответствующий участок балки находится в состоянии чистого изгиба.

    5. Если на границе соседних участков балки эпюра Q не имеет скачка, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются без перелома, т. е. имеют в точке сопряжения общую касательную.

    На рис. 16.7, а показаны две эпюры Q, не имеющие скачков на границах соседних участков (в сечениях А). На рис. 16.7, б сплошными линиями изображены правильные сопряжения линий, ограничивающих эпюры М (без переломов в точках а), а пунктирными линиями - неправильные варианты сопряжения.

    6. Если на границе соседних участков балки в эпюре Q имеется скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с переломом, т. е. не имеют в точке сопряжения общей касательной.

    На рис. 17.7, а показаны три эпюры Q, имеющие скачки на границах соседних участков (в сечениях А), а на рис. 17.7,б - соответствующие им сопряжения линий, ограничивающих эпюры переломами в точках а.

    7. Изгибающий момент достигает максимума или минимума в сечениях балки, в которых поперечная сила равна нулю; касательная к линии, ограничивающей эпюру М, в этом сечении параллельна оси эпюры.