Найти множество на которое функция отображает множество. Отображения. Рис.1.5. Взаимно однозначное отображение

Сюръекция, инъекция и биекция

Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.

Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче - сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X: /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).

• Итак, функция /: X -У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X: f(x) = у.

В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X -? У - некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9: Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f"1.

Примеры решения в задачах

Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R - ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ - множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У

• Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).
• Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х - координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у - координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у - ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.

Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй - из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&", у") определяют условиями х = х" и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2

Можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что. Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.

• Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
• Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда, и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то. Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
• Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).

Рассмотрим еще один важный частный случай общего понятия соответствия - отображения множеств. При соответствии R между множествами Х и Y образ элемента а Х может оказаться пустым, а может содержать и несколько элементов.

Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением Х в Y , если каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент множества Y . Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении: f(x). На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка (рис. 29).

Рассмотрим следующий пример. Пусть Х - множество студентов в аудитории, а Y - множество стульев в той же аудитории. Соответствие «студент х сидит на стуле у » задает отображение Х в Y . Образом студента х является стул.

Пусть Х = Y = N - множество натуральных чисел. Соответствие «десятичная запись числа х состоит из у цифр» определяет отображение N в N . При этом отображении числу 39 соответствует число 2, а числу 45981 - число 5(39 - двузначное число, 45981 - пятизначное).

Пусть Х - множество четырехугольников, Y - множество окружностей. Соответствие «четырехугольник х вписан в окружность у » не является отображением Х в Y , так как есть четырехугольники, которые нельзя вписать в окружность. Но в этом случае говорят, что получилось отображение из множества Х в множество Y .

Если отображение Х в Y таково, что каждый элемент y из множества
Y соответствует одному или нескольким элементам х из множества Х , то такое отображение называют отображением множества Х на множество Y .

Множество Х называют областью определения отображения f: XY, а множество Y - областью прибытия этого отображения. Часть области прибытия, состоящая из всех образов y из множества Y, называется множеством значений отображения f.

Если y=f(x), то х называют прообразом элемента у при отображении f . Множество всех прообразов элемента у называют его полным прообразом: f (y).

Отображения бывают следующих видов: инъективными, сюръективными и биективными.

Если полный прообраз каждого элемента yY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такие отображения называют инъективными.

Отображения XY такие, что f(X)=Y , называют отображениями Х на все множество Y или сюръективными (из каждой точки множества Х выходит стрелка, а после изменения направления в каждой точке множества Х заканчивается) (рис. 31).

Если отображение инъективно и сюръективно, то его называют взаимно однозначным или биективным.

Отображение множества Х на множество называется биективным , если каждому элементу х Х соответствует единственный элемент yY, а каждый элемент yY соответствует только одному элементу х Х (рис. 32).

Биективные отображения порождают равномощные (эквивалентные) множества: X~Y.

Пример . Пусть - Х множество пальто в гардеробе, Y - множество крючков там же. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит. Это соответствие является отображением Х в Y. Оно инъективно, если ни на одном крючке не висит более одного пальто или некоторые крючки свободны. Данное отображение сюръективно, если все крючки заняты или на некоторых висят несколько пальто. Оно будет биективным, если на каждом крючке висит только одно пальто.

Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо

Соответствие между множествами А и В называется подмножество их декартова произведения

Иными словами, пары задают соответствие между множествами А={ } и В={ }, если указано правило R, по которому для элемента множества А выбирается элемент из множества В.

Если элементу поставлен в соответствие некоторый элемент , b называется образом элемента а и записывается так: b= R (a). Тогда - прообраз элемента , который обладает свойствами единственности и полноты:

1. Каждому прообразу соответствует единственный образ;

2. Образ должен быть полным, так же как полным должен быть и прообраз.

Пример. Если А – множество парабол, В – множество точек плоскости, а R – соответствие “вершина параболы”, то R (а) – точка, являющая вершиной параболы a, а состоит из всех парабол с вершиной в точке b (рис. 6)

Образ множества А при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R (A), если R (A) состоит из образов всех элементов множества А.

Прообраз множества В при некотором соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают . В свою очередь является обратным соответствием для R.

Так, для соответствия R, заданного точками координатной плоскости, областью определения является множество точек оси абсцисс, а множеством значений – проекции точек на ось ординат (рис.7). Поэтому для некоторой точки

М (х, у) у является образом, а х – прообразом при некотором соответствии R: У=R (x), Соответствие между множествами Х, удобно в виде точки на плоскости с помощью метода декартовых координат.

Пусть задано соответствие R и Y=R (X). Ему соответствуют точки М с координатами (х; у) (рис. 7). Тогда множество точек плоскости, выделяемое отображением R, будет графиком.

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображение (функции) одного множества на другое.

Для задания отображения необходимо указать:

1. Множество, которое отображается (область определения данного отображения, часто обозначаются );

2. Множество, в (на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения, часто обозначается );

3. Закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.

Обозначения: .

Способы задания отображений: аналитический (в виде формул), табличный , графический (диаграммы или графы).

Различают два основных вида однозначных отображений (функций). По мощности они делятся на сюръективные и инъективные .

1. Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В (сюръекция).

2. Соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В (инъекция).

Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно – однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией .инъекцией и сюръекцией .

Отображение %%f%% называется инъективным ,

если для любых элементов %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, следует, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

Пример

Функция %%f(x) = x^2%%, определенная на множестве %%\mathbb{R}%%, не является инъективной, так как при %%x_1 = -1, x_2 = 1%% получаем одно и тоже значение функции %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Сюръективное отображение

Отображение %%f%% называется сюръективным , если для всякого элемента %%y \in Y%% существует элемент %%x \in X%% с условием, что %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

Пример

Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

Биективное отображение

Отображение %%f%% называется биективным , если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием .

Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

Обратное отображение

Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^{-1}(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением .

Пример

Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией . Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным .

1. Проверим инъекцию. Пусть %%x_1 \neq x_2%%. Проверим, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, то есть %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Предположим противное, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Тогда получается, что %%x_1 = x_2%%. Получили противоречие, т.к. %%x_1 \neq x_2%%. Следовательно, %%f%% — инъекция.
2. Проверим сюръекцию . Пусть %%y \in Y = \mathbb{R}%%. Найдем элемент %%x \in X = \mathbb{R}%% c условием, что %%f(x) = y%%, то есть %%3x + 3 = y%%. В данном равенстве задан элемент %%y \in \mathbb{R}%% и нужно найти элемент %%x%%. Очевидно, что $$ x = \frac{y-3}{3} \text{ и } x \in \mathbb R $$ Следовательно, отображение %%f%% сюръективно.

Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac{y-3}{3}%%.