Электрические и временные параметры прямоугольных импульсов. Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов при различном периоде их скважности Спектр периодической последовательности импульсов

Лабораторная работа №1.

Представление периодических импульсных

Сигналов рядом Фурье.

Цель работы – Изучение спектрального состава периодической последовательности импульсов прямоугольной формы при различных частотах следования и длительности импульсов.

Введение

Для, передачи хранения и обработки информации используются периодические импульсные сигналы, которые могут быть математически представлены рядами Фурье. Существует временное рис.1 и частотное представление электрических сигналов рис.2.

Рис.1. Временная форма представления периодической

последовательности прямоугольных импульсов.

Представление сигнала во временной области позволяет определить его параметры, энергию, мощность и длительность. Для представления сигналов в частотной области в виде спектра используется преобразования Фурье. Знание частотных свойств позволяет решать задачи идентификации характеристик сигнала (определение его наиболее информативных параметров), фильтрации (выделение полезного сигнала на фоне помех), выбора частоты дискретизации непрерывного сигнала. Одним из важнейших параметров сигнала является ширина частотного спектра, т. к. именно этот параметр оказывается определяющим при согласовании сигнала с аппаратурой обработки и передачи информации.

Основные формулы и определения.

Периодическую функциюu(t) с периодом T можно представить рядом Фурье

(1)

Колебание с частотой называется первой гармоникой; (n =1) колебание с частотой - второй гармоникой (n =2), c частотой - n-й гармоникой.

Выражение (1) с использованием тождества

может быть переписано в виде

, (2)

Коэффициенты и определяется по формулам

Величина выражает среднее значение функции за период, она, называется также постоянной составляющей и вычисляется по формуле

Формулы (3) решают задачу анализа : по заданной периодической функции нужно найти коэффициенты Фурье и . Формулы (1) и (2) решают задачу гармонического синтеза : по заданным коэффициентам и нужно найти периодическую функцию .

Анализ спектра последовательности прямоугольных импульсов

Совокупность амплитуд и частот гармонических составляющих называютамплитудной-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость от частот гармоник фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Амплитудно-частотный спектр прямоугольных импульсов может быть представлен графически рис.2.

Рис.2. АЧХ и ФЧХ периодической последовательности

прямоугольных импульсов.

Пусть , представляющая последовательность прямоугольных импульсов рис.1 с амплитудой , длительностью и периодом описывается уравнением

Тогда амплитуды и фазы для гармонических составляющих определяются уравнением:

(4)

Величина называется скважностью и обозначается буквой . Тогда уравнения (4) принимают вид

где n =1, 2, … . (5)

Для вычисления мощности сигналов представленных рядом Фурье в теории информации используют формулы в которых значение сопротивление R = 1 Ом. В этом случае напряжения u и токи i равны, поскольку i = u/R.

Мощность постоянной составляющей Р 0 будет

а мощность переменной составляющей Р n для n-й гармоники

(6)

Формула для результирующей мощности примет вид

ЗАДАНИЕ

1. Выполните анализ периодической последовательности прямоугольных импульсов

1.1 По номеру варианта N, полученного у преподавателя, определите из таблицы 1 значение скважности и круговой частоты .

Таблица 1

1.2 а) Определите 11 первых значений коэффициентов u n (n=0, 1, 2, ... , 10), считая Е=1 В, используя электронные таблицы "Exel" (или калькулятор, или другой программный продукт) по формулам (5) и и внесите их в соответствующую строку u n таблицы 2.

1.3 б) Вычислите мощности p n и запишите их в таблицу 2.

Таблица 2

и графика амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) рис.3, а).

1.4 Постройте фазо-частотную характеристику (ФЧХ) периодической последовательности импульсов подобно рис.2) в которой изменение знака u n эквивалентно сдвигу фазы на p.

1.5 Вычислите удельную (на сопротивлении 1 Ом) мощность спектра первых 10 гармоник по формуле

.

2. Задача синтеза.

2.1. Используя уравнение (1), представьте сумму первых 10 гармоник подставив в виде уравнения

по вычисленным в таблице значениям u n для , , , …. и постройте временную зависимость на периоде Т, например.

из таблицы 3

в виде графика 4 во временном диапазоне одного периода Т= , используя текущее время t = nD t - t/2, с шагом где n=0,1,2, … ,10 , показанного на рис. 3 .

Рис. 3. Временной интервал для синтеза сигнала

Спектральное представление временных функций широко используется в теории связи. Для теоретических и экспериментальных исследований характеристик электрических цепей и передачи сообщений по каналам связи используется различные типы сигналов: гармонические колебания, уровни постоянных напряжений, последовательности прямоугольных и радиоимпульсов и т. д. Особо важную роль в теоретических исследованиях электрических цепей играют вычислительные сигналы в форме единичной функции и импульсной функции (функции Дирака). Определим спектры наиболее распространенных типовых сигналов.

11.1 Спектр последовательности прямоугольных импульсов

Пусть имеется периодическая последовательность импульсов прямоугольной формы периодом Т длительностью импульсов t и и амплитудой А. Аналитическое выражение функции , описывающей импульс на отрезке , имеет вид

(11.1)

График периодической последовательности импульсов изображен на рисунке 11.1.

Рисунок 11.1

Данная функция является четной, так как ее график симметричен относительно оси ординат. Тогда коэффициенты Фурье это функции вычисляются по формулам (КФТ2), где .

Число представляет собой среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей. Частоту называют основной, или первой гармоникой, а частоты k высшими гармониками, где k=2,3,4,…

Построим амплитудный спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов. Так как функция периодическая, то ее амплитудный спектр является линейчатым. Обозначим через расстояние между любыми соседними гармониками. Очевидно, оно равно . Амплитуда k-ой гармоники согласно (11.2) имеет вид

(11.3)

Найдем отношение между периодом Т и длительностью импульса , при котором амплитуда k-ой гармоники обращается в нуль.

А 2 ≈32В, А 3 ≈15В, А 4 ≈0, А 5 ≈6,36В, А 6 ≈10,5В, А 7 ≈6,36В, А 8 ≈0, А 9 ≈4,95В, А 10 ≈6,37В.

Полученный в результате расчета амплитудный спектр приведен на рисунке 11.2.

Рисунок 11.2

Такой спектр называют линейчатым или дискретным спектром.

Аналогично рассчитаны и построены спектры для q=8 и q=16. Они приведены на рисунках 11.3 и 11.4 соответственно.

Рисунок 11.3

Рисунок 11.4

Из рисунка видно, что чем больше скважность прямоугольных импульсов, тем меньше значение имеет амплитуда первой гармоники, но тем медленнее убывает спектр.

11.2 Спектр одиночного прямоугольного импульса

Рассмотрим Ф (11.1) для случая, когда Т→∞, то есть периодическая последовательность импульсов вырождается в одиночный прямоугольный импульс, длительностью t u .

Аналитическое выражение для этого импульса запишется в виде:

График этой функции изображен на рисунке 11.5.

Рисунок 11.5

В этом случае частота первой гармоники и расстояние между гармониками становится равным 0, следовательно, спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга. Такой спектр называют сплошным. Отсюда следует важнейшее правило: периодические сигналы порождают дискретные спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).

Спектр прямоугольного одиночного импульса можно найти непосредственно из прямого преобразования Фурье (10.1)

С выхода источника сообщений поступают сигналы, несущие информацию, а также тактовые, используемые для синхронизации работы передатчика и приемника системы передачи. Информационные сигналы имеют вид непериодической, а тактовые- периодическойпоследовательности импульсов.

Для правильной оценки возможности передачи таких импульсов по каналам связи определим их спектральный состав. Периодический сигнал в виде импульсов любой формы можно разложить в ряд Фурье согласно (7).

Для передачи по воздушным и кабельным линиям связи применяются сигналы различной формы. Выбор той или иной формы зависит от характера передаваемых сообщений, частотного спектра сигналов, частотных ивременных параметров сигналов. Большое применение в технике передачи дискретных сообщений получили сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам.

Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и

гармонических составляющих периодических прямоугольных импульсов (рисунок 4,а) длительностью и периодом. Поскольку сигнал является четной функцией времени, то в выражении (3) все четные гармонические составляющие обращаются в нуль (=0), а нечетные составляющие принимают значения:

(10)

Постоянная составляющая равна

(11)

Для сигнала 1:1 (телеграфные точки) рисунок 4а:

,
. (12)

Модули амплитуд спектральных составляющих последовательности прямоугольных импульсов с периодом
приведены на рис. 4,б. По оси абсцисс отложены основная частота повторения импульсов
() и частоты нечетных гармонических составляющих
,
и т.д. Огибающая спектра изменяется по закону.

При увеличении периода ,по сравнению с длительностью импульса,число гармонических составляющих в спектральном составе периодического сигнала увеличиваются. Например, для сигнала с периодом (рисунок 4,в)получаем, что постоянная составляющая равнаи

В полосе частот от нуля до частотырасполагается пять гармоническихсоставляющих (рисунок 4,г), в то время как прилишь одна.

При дальнейшем увеличении периода повторения импульсов число гармонических составляющих становится все больше и больше. В предельном случае когда
сигнал становится непериодической функцией времени, число его гармонических составляющих в полосе частот от нуля до частотыувеличивается до бесконечности; расположены они будут набесконечноблизких расстояниях по частоте;спектр непериодического сигналастановится непрерывным.

Рисунок 4

2.4 Спектр одиночного импульса

Задан одиночный видеоимпульс (рисунок 5):

Рисунок 5

Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Для этого мысленно дополним одиночный импульс такими же импульсами, периодически следующими через некоторый интервал времени , и получим изученную ранее периодическую последовательность:

Представим одиночный импульс как сумму периодических импульсов с большим периодом .

, (14)

где - целые числа.

Для периодического колебания

. (15)

Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим к бесконечности период повторения: . При этом, очевидно:

, (16)

Обозначим

. (17)

Величиной называется спектральная характеристика (функция) одиночного импульса (прямое преобразование Фурье). Она зависит только от временного описания импульсаи в общем виде является комплексной:

, (18) где
; (19)

; (20)

,

где
- модуль спектральной функции (амплитудно-частотная характеристика импульса);

- фазовый угол, фазо-частотная характеристика импульса.

Найдем для одиночного импульса по формуле (8), используя спектральную функцию:

.

Если , получим:

. (21)

Полученное выражение называется обратным преобразованием Фурье.

Интеграл Фурье определяет импульс в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах.

На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладает одиночный импульс.

Полная энергия импульса (энергия, выделяемая на активном сопротивлении Ом) равна

(22)

Изменяя порядок интегрирования, получим

.

Внутренний интеграл есть спектральная функция импульса , взятая при аргументе -, т.е. представляет собой комплексно сопряженную свеличину:

Следовательно

Квадрат модуля (произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).

В этом случае условно говорят, что спектр импульса является двусторонним, т.е. размещается в полосе частот от до.

Приведенное соотношение (23), устанавливающее связь между энергией импульса (на сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной функции известно под названием равенство Парсеваля.

Оно утверждает, что энергия, заключенная в импульсе , равна сумме энергий всех составляющих его спектра. Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется.

Так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования , то удвоив значение интеграла можно ввести интегрирование в пределах от 0 до:

. (24)

При этом говорят, что спектр импульса размещается в полосе частот от 0 до и называется односторонним.

Подынтегральная величина в (23) называется энергетическим спектром (спектральная плотность энергии) импульса

Она характеризует распределение энергии по частоте, и её значение на частоте равно энергии импульса, приходящейся на полосу частот, равной 1 Гц. Следовательно, энергия импульса есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот отдо.Иначе говоря, энергия равна площади, заключённой между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала и осью абсцисс.

Для оценки распределения энергии по спектру пользуются относительной интегральной функцией распределения энергии (энергетической характеристикой)

, (25)

где
- энергия импульса в заданной полосе частот от 0 до, которая характеризует долю энергии импульса, сосредоточенную в интервале частот от 0 до.

Для одиночных импульсов различной формы выполняются следующие закономерности:

Рассмотрим периодическую последовательность импульсов прямоугольной формы с периодом Т, длительностью импульсов и максимальным значением. Найдем разложение в ряд такого сигнала, выбрав начало координат как показано на рис. 15. при этом функция симметрична относительно оси ординат, т.е. все коэффициенты синусоидальных составляющих=0, и нужно рассчитать только коэффициенты.

- 0 T t

постоянная составляющая
(28)

Постоянная составляющая – это среднее значение за период, т.е. это площадь импульса
, деленная на весь период, т.е.
, т.е. то же, что получилось и при строгом формальном вычислении (28).

Вспомним, что частота первой гармоники  1 =, где Т – период прямоугольного сигнала. Расстояние между гармониками= 1 . Если номер гармоники n окажется таким, что аргумент синуса
, откуда. Номер гармоники, при котором амплитуда ее обращается в ноль первый раз, называют«первым нулем» и обозначают его буквой N, подчеркивая особые свойства этой гармоники:

(29)

с другой стороны, скважность S импульсов – это отношение периода Т к длительности импульсов t u , т.е. . Следовательно «первый нуль» численно равен скважности импульсаN = S . Поскольку синус обращается в ноль при всех значениях аргумента, кратных , то и амплитуды всех гармоник с номерами, кратными номеру «первого нуля», тоже обращаются в ноль. То есть
при
, гдеk – любое целое число. Так, например, из (22) и (23) следует, что спектр прямоугольных импульсов со скважностью 2 состоит только из нечетных гармоник. Поскольку S =2 , то и N =2 , т.е. амплитуда второй гармоники первый раз обращается в ноль – это «первый нуль». Но тогда и амплитуды всех остальных гармоник с номерами, кратными 2, т.е. все четные тоже должны обращаться в ноль. При скважности S=3 нулевые амплитуды будут у 3, 6, 9, 12, ….гармоник.

С увеличением скважности «первый нуль» смещается в область гармоник с большими номерами и, следовательно, скорость убывания амплитуд гармоник уменьшается. Простой расчет амплитуды первой гармоники при U m =100В для скважности S =2, U m 1 =63,7B, при S =5, U m 1 =37,4B и при S =10, U m 1 =19,7B, т.е. с ростом скважности амплитуда первой гармоники резко уменьшается. Если же найти отношение амплитуды, например, 5-й гармоники U m 5 к амплитуде первой гармоники U m 1 , то для S =2, U m 5 /U m 1 =0,2, а для S =10, U m 5 / U m 1 = 0,9, т.е. скорость затухания высших гармоник с ростом скважности уменьшается.

Таким образом, с ростом скважности спектр последовательности прямоугольных импульсов становится более равномерным.

2.5. Спектры при уменьшении длительности импульса и периода сигнала.

Регулировать скважность S = T / t n можно либо изменением длительности импульса t n при T =const, либо изменением периода Т при t n =const. Рассмотрим спектры сигналов при этом.

T =const, t n =var. Частота первой гармоники f 1 =1/ T = const и  f = f 1 = const. Первый нуль N = T / t n и по мере укорочения импульса t n смещается в область гармоник с большими номерами. При t n 0 N , спектр получается дискретным и  f = f 1 , бесконечно широкий и с бесконечно малыми амплитудами гармоник.

t n =const, T =var. Будем увеличивать период Т , тогда частота первой гармоники f 1 и расстояние между спектральными линиями  f будут уменьшаться. Так как  f = f 1 =1/Т , то спектральные линии будут смещаться в область более низких частот и «плотность» спектра возрастет. Если Т , то сигнал из периодического становится непериодическим (одиночный импульс). В этом случае f 1 =  f 0, т.е. спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга.

Отсюда следует правило: периодические сигналы порождают дискретные (линейчатые) спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).

При переходе от дискретного спектра к непрерывному ряд Фурье заменяется интегралом Фурье. Наиболее просто эта замена выполняется, если использовать запись ряда Фурье в комплексной форме (16) и (17). Интеграл Фурье для непрерывного спектра записывается

, (30)

где
(31)

Функция F (j  ) называется спектральной функцией или спектральной плотностью , которая зависит от частоты. Формулы (30) и (31) называют в совокупности односторонним преобразованием Фурье , которое является частным случаем более общего преобразования Лапласа и получается заменой в преобразовании Лапласа комплексной переменной р на j  .

Спектральную функцию можно представить как огибающую коэффициентов ряда Фурье, т.е. как предел линейчатого спектра периодической функции при Т . Функция F (j  ) может быть действительной или комплексной. Считая в общем случае
, мы получаем две частотные характеристики:
-амплитудный спектр , т.е. зависимость амплитуды спектральных составляющих от частоты, и  ( ) – фазовый спектр , т.е. закон изменения фазы спектральных составляющих сигнала от частоты. Можно показать, что амплитудный спектр – всегда четная, а фазовый спектр – всегда нечетная функция  . Спектральную функцию для многих непериодических сигналов (одиночных импульсов различной формы) наиболее легко и просто находить с помощью таблиц оригиналов и изображений в преобразовании Лапласа, которые приводятся в учебной и справочной литературе. После нахождения изображения по Лапласу F (p ) для заданной непериодической функции f (t ) , спектральная функция находится

(32)

Итак, согласно (30) непериодическая функция f (t ) представляется совокупностью бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами
во всем диапазоне частот от - до +, т.е. представление f (t ) в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование незатухающих гармонических колебаний бесконечного сплошного спектра частот.

описание лабораторной установки

Работа выполняется на блоке «Синтезатор сигнала», функциональная схема которого приведена на рис. 16.

Блок содержит генераторов Г1-Г6 шести первых гармоник сигнала. Частота первой гармоники равна 10 кГц. Гармонический сигнал с выхода n-го генератора через фазовращатель Ф n и аттенюатор А n поступает на сумматор. Фазовращателями задают начальные фазы  n гармоник, а аттенюаторами – их амплитуды А n .

На выходе сумматора в общем случае получается сумма шести гармоник сигнала

.

С выхода сумматора сигнал подается на вход Y осциллографа. Для его внешней синхронизации используется специальный импульсный сигнал, подаваемый с гнезда «Синхр.» на вход Х осциллографа. Для установки и контроля амплитуд гармоник предусмотрена возможность отключения любой из гармоник. Включив только генератор n-ой гармоники, можно установить ее амплитуду аттенюатором А n и оценить ее значения с помощью осциллографа. Каждый фазовращатель с помощью переключателя позволяет установить требуемое дискретное значение начальной фазы гармоники, либо отключить генератор.

СИГНАЛОВ

Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах.

1. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.3)

Подобное колебание, часто называемое меандром, находит особенно широкое применение в измерительной технике.

При выборе начала отсчета времени в соответствии с рис. 2.3, а функция является нечетной, а рис. 2.3, б - четной. Применяя формулы (2.24), находим для нечетной функции (рис. 2.3, а) при s(t)=e(t):

Рис. 2.3. Периодическое колебание прямоугольной формы (меандр)

Рис. 2.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье колебания, показанного на рис. 2.3

Учитывая, что , получаем

Начальные фазы в соответствии с (2.27) равны для всех гармоник.

Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме

Спектр коэффициентов комплексного ряда Фурье показан на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда - на рис. 2.4, б (при ).

При отсчете времени от середины импульса (рис. 2.3, б) функция является четной относительно t и для нее

Графики 1-й гармоник и их суммы изображены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сумма дополнена 5-й гармоникой, а на рис. 2.5, в - 7-й.

С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. При величина этого выброса равна , т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса.

Рис. 2.5. Суммирование 1-й и 3-й гармоник (а), 1, 3 и 5-й гармоник (б), 1, 3, 5 и 7-й гармоник (в) колебания, показанного на рис. 2.3

Рис. 2.6 Периодическое колебание пилообразной формы

Рис. 2.7. Сумма первых пяти гармоник колебания, показанного на рис. 2.6

Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в интеграл (2.13).

2. ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.6)

С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формул (2.24)-(2.31) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону , где . На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе).

3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.8)

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

Рис. 2.8. Сумма трех первых гармоник периодической функции

Рис. 2.9. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов с большой скважностью

На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции.

4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС 2.9)

Применяя формулу (2.32), находим среднее значение (постоянную составляющую)

и коэффициент гармоники